सबै प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् (Answer all the questions):
[10×1 = 10]\(y = \sin x\) को न्यूनतम मान कति हुन्छ ? लेख्नुहोस् ।
What is the minimum value of \(y = \sin x\)? Write it.
यदि एउटा गुणोत्तर श्रेणीको पहिलो पद 'a' र समान अनुपात 'r' भए n औं पद कति हुन्छ ? लेख्नुहोस् ।
If the first term of a geometric series is 'a' and the common ratio is 'r', what is the nth term? Write it.
दिइएको संख्या रेखाका लागि अन्तराल सङ्केत लेख्नुहोस् ।
Write the interval notation for the given number line.
कुन अवस्थामा मेट्रिक्सको विपरीत मेट्रिक्स परिभाषित गर्न सकिँदैन ? लेख्नुहोस् ।
In which condition the inverse of a matrix cannot be defined? Write it.
दुई सरल रेखाहरूको भुकाव क्रमशः \(m_1\) र \(m_2\) भए दुई रेखाहरू आपसमा लम्ब हुने अवस्था लेख्नुहोस् ।
\(m_1\) and \(m_2\) are the slopes of two straight lines respectively then write the condition of perpendicularity of two lines.
यदि समकोणी सोलीको जेनेरेटरसँग समानान्तर हुने गरी समतलीय सतहले प्रतिच्छेदन गर्दा कुन साङ्किक भाग बन्दछ ? लेख्नुहोस् ।
If a plane intersects a right circular cone parallel to the generator, which conic section is formed? Write it.
\(\cos 2A\) लाई \(\cos A\) को रूपमा लेख्नुहोस् ।
Write \(\cos 2A\) in terms of \(\cos A\).
\(\sin C - \sin D\) लाई \(\sin\) र \(\cos\) को गुणनको रूपमा लेख्नुहोस् ।
Write \(\sin C - \sin D\) in the form of product of sine and cosine.
दुई भेक्टरहरू \(\vec{a}\) र \(\vec{b}\) बिचको कोण \(\theta\) भए \(\vec{a}\) र \(\vec{b}\) बिचको स्केलर गुणनफल कति हुन्छ ? लेख्नुहोस् ।
What is the scalar product of two vectors \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\) if the angle between \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\) is \(\theta\)? Write it.
विपरीत स्थानान्तरणमा, उत्क्रम वृत्तको भित्र विन्दु P पर्छ भने P को उत्क्रम विन्दु P' कहाँ पर्छ ? लेख्नुहोस् ।
In inversion transformation, if the point P is inside the inversion circle then where does the inversion point P' of the point P lie? Write it.
सबै प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् (Answer all the questions):
[8×2 = 16]यदि \(f(x) = 2x + 3\) भए \(fof(-1)\) को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If \(f(x) = 2x + 3\), then find the value of \(fof(-1)\).
वर्ग समीकरण \(y = x^2 - 5x + 6\) बाट बन्ने पाराबोलाको शीर्षविन्दु पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the vertex of parabola formed from the quadratic equation \(y = x^2 - 5x + 6\).
यदि \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & x \end{bmatrix}\), \(B = \begin{bmatrix} 7 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\) र \(|AB| = 10\) भए \(x\) को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & x \end{bmatrix}\), \(B = \begin{bmatrix} 7 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}\) and \(|AB| = 10\) then find the value of \(x\).
यदि रेखाहरू \(2x + 3y = 8\) र \(4x + ky = 7\) एक आपसमा समानान्तर छन् भने \(k\) को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If the lines \(2x + 3y = 8\) and \(4x + ky = 7\) are parallel to each other, find the value of \(k\).
प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \(\dfrac{\sin^3 A - \cos^3 A}{\sin A - \cos A} = 1 + \dfrac{1}{2}\sin 2A\)
हल गर्नुहोस् (Solve): \(4\cos^2\theta = 3 \quad \left(0^\circ \leq \theta \leq \frac{\pi^c}{2}\right)\)
बिन्दुहरू A र B का स्थिति भेक्टरहरू क्रमशः \(2\vec{i} + 3\vec{j}\) र \(-\vec{i} + 2\vec{j}\) छन् । यदि M ले रेखा खण्ड AB लाई बाहिरपट्टिबाट \(5 : 2\) को अनुपातमा विभाजन गर्दछ भने M को स्थिति भेक्टर पत्ता लगाउनुहोस् ।
The position vectors of the points A and B are \(2\vec{i} + 3\vec{j}\) and \(-\vec{i} + 2\vec{j}\) respectively. If M divides the line segment AB externally in the ratio of \(5 : 2\) then find the position vector of the point M.
अविच्छिन्न श्रेणीमा पहिलो चतुर्थांश 45 र चतुर्थांशीय भिन्नता 8.5 छ भने चतुर्थांशीय भिन्नताको गुणाङ्क पत्ता लगाउनुहोस् ।
In a continuous series, the first quartile is 45 and the quartile deviation is 8.5, find the coefficient of quartile deviation.
सबै प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् (Answer all the questions):
[11×3 = 33]हल गर्नुहोस् (Solve): \(2x^3 - 5x^2 - 6x + 9 = 0\)
एउटा समानान्तरीय अनुक्रममा रहेका तीन सङ्ख्याहरूको योगफल 24 छ । यदि तेस्रो पद यथावत् राखी पहिलो र दोस्रो पदहरूमा क्रमशः 2 र 1 जोड्दा गुणोत्तर अनुक्रम बन्दछ भने ती सङ्ख्याहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
Three numbers are in an arithmetic sequence and their sum is 24. If 2 and 1 are added to first and second terms respectively and keeping the third term same, it becomes geometric sequence. Find the numbers.
फलन \(f(x) = \begin{cases} x + 2, & x \leq 2 \\ 4x - 4, & x > 2 \end{cases}\) छन् ।
Function \(f(x) = \begin{cases} x + 2, & x \leq 2 \\ 4x - 4, & x > 2 \end{cases}\) are given.
(i) \(x = 1.9999\) मा \(f(x)\) को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
For \(x = 1.9999\), find the value of \(f(x)\). (1)
(ii) \(x = 2.0001\) मा \(f(x)\) को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
For \(x = 2.0001\), find the value of \(f(x)\). (1)
(iii) \(x = 2\) मा के फलन \(f(x)\) निरन्तर छ ? कारण दिनुहोस् ।
Is the function \(f(x)\) continuous at \(x = 2\)? Give reason. (1)
क्रामरको नियम प्रयोग गरी हल गर्नुहोस् । (Solve using Cramer's rule):
\(4x + 3y = 17\); \(4y - 3x = 6\)
समीकरण \(x^2 - 5xy + 4y^2 = 0\) ले प्रतिनिधित्व गर्ने रेखाहरूसँग लम्ब हुने र उद्गम बिन्दुबाट जाने रेखाहरू जोड्ने एकल समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the single equation of the pair of lines passing through the origin and perpendicular to the lines represented by the equation \(x^2 - 5xy + 4y^2 = 0\).
प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \(\dfrac{\sec 2\theta - 1}{\sec \theta - 1} = \dfrac{\tan 2\theta}{\tan\dfrac{\theta}{2}}\)
यदि \(\alpha + \beta + \gamma = \pi^c\) भए प्रमाणित गर्नुहोस् (If \(\alpha + \beta + \gamma = \pi^c\) then Prove that):
\(\cos^2\alpha + \cos^2\beta - \cos^2\gamma = 1 - 2\sin\alpha \cdot \sin\beta \cdot \cos\gamma\)
10 फिट उचाइ भएको एउटा पानी ट्याङ्की एउटा भवनको छानामाथि राखिएको छ । उक्त भवन र ट्याङ्कीले जमीनमा रहेको एउटा बिन्दुमा बनाउने कोणहरू क्रमशः \(45^\circ\) र \(60^\circ\) का कोणहरू बनाउँदछन् भने भवनको उचाइ पत्ता लगाउनुहोस् ।
A water tank of height 10 ft. is fixed on the roof of a building. The angles subtended by the building and the tank at a point on the ground are \(45^\circ\) and \(60^\circ\) respectively. Find the height of the building.
एकाई वर्गलाई चतुर्भुज \(\begin{bmatrix} 0 & 2 & 5 & 3 \\ 0 & 4 & 9 & 5 \end{bmatrix}\) मा स्थानान्तरण गर्ने \(2 \times 2\) स्थानान्तरण मेट्रिक्स पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the \(2 \times 2\) transformation matrix which transforms a unit square to the quadrilateral \(\begin{bmatrix} 0 & 2 & 5 & 3 \\ 0 & 4 & 9 & 5 \end{bmatrix}\).
दिइएको अविच्छिन्न श्रेणीको मध्यिकाबाट मध्यक भिन्नता पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the mean deviation from the median of the given continuous series.
| प्राप्ताङ्क (Marks Obtained) | 10 - 20 | 20 - 30 | 30 - 40 | 40 - 50 | 50 - 60 | 60 - 70 |
| विद्यार्थीहरूको सङ्ख्या (Number of Students) | 6 | 8 | 11 | 14 | 8 | 3 |
दिइएको अविच्छिन्न श्रेणीबाट स्तरीय भिन्नता पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the standard deviation of the given continuous series.
| वर्गान्तर (Class Interval) | 0 - 10 | 10 - 20 | 20 - 30 | 30 - 40 | 40 - 50 |
| बारम्बारता (Frequency) | 2 | 6 | 5 | 4 | 3 |
सबै प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् (Answer all the questions):
[4×4 = 16]शर्तहरू \(x + y \leq 6\), \(2x - y \leq 3\), \(x \geq 0\) र \(y \geq 0\) को आधारमा उद्देश्य फलन \(F = 4x + 3y + a\) जहाँ \(a > 0\) को अधिकतम मान 26 भए \(a\) को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
The maximum value of the objective function \(F = 4x + 3y + a\), where \(a > 0\) is 26 under the constraints \(x + y \leq 6\), \(2x - y \leq 3\), \(x \geq 0\), \(y \geq 0\), then find the value of \(a\).
केन्द्रविन्दु \((6, 3)\) भएको एउटा वृत्तलाई Q ले जनाइएको छ । वृत्त Q समीकरण \(x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0\) भएको वृत्तको केन्द्रविन्दु भएर जान्छ भने वृत्त Q को समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।
A circle having centre \((6, 3)\) is represented by Q. If the circle Q passes through the centre of the circle having equation \(x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0\), find the equation of the circle Q.
PQRS एउटा आयत हो । भेक्टर विधिबाट प्रमाणित गर्नुहोस्: \(PR = QS\).
PQRS is a rectangle. Prove by vector method that: \(PR = QS\).
यदि \(R_1\) ले \(y = x\) रेखामा हुने परावर्तन र \(R_2\) ले \(x = 0\) रेखामा हुने परावर्तनलाई जनाउँछ । संयुक्त स्थानान्तरण \(R_1 \circ R_2\) ले कुन एकल स्थानान्तरणलाई जनाउँछ ? लेख्नुहोस् । सोही एकल स्थानान्तरण प्रयोग गरी \(\triangle PQR\) को प्रतिबिम्ब पत्ता लगाउनुहोस् जहाँ \(P(1, 2)\), \(Q(2, 4)\) र \(R(5, 3)\) छन् । साथै वस्तु र प्रतिबिम्बलाई उठाई लेखाचित्रमा प्रस्तुत गर्नुहोस् ।
If \(R_1\) represents the reflection on the line \(y = x\) and \(R_2\) represents the reflection on the line \(x = 0\), then which single transformation does the combined transformation \(R_1 \circ R_2\) represent? Write it. Using this single transformation find the image of \(\triangle PQR\), where \(P(1, 2)\), \(Q(2, 4)\) and \(R(5, 3)\). Also present the object and the image on the same graph paper.