Optional Mathematics Question Paper 2081 (2025) — Set A

घनघातीय फलनको परिभाषा लेख्नुहोस् ।
Write the definition of cubic function.

यदि एउटा समानान्तरीय श्रेणीको पहिलो पद 'a', समान अन्तर 'd' र पदहरूको सङ्ख्या 'n' भए सो श्रेणीको पहिलो n ओटा पदहरूको योगफल पत्ता लगाउने सूत्र लेख्नुहोस् ।
If the first term of an arithmetic series is 'a', common difference 'd' and the number of terms 'n' then write the formula to find the sum of the first n terms of the series.

अविच्छिन्न हुने सङ्ख्याहरूको समूहको नाम लेख्नुहोस् ।
Write the name of the set of numbers which is continuous.

कुन अवस्थामा दिइएको मेट्रिक्सको विपरित मेट्रिक्स मान्य हुँदैन ? लेख्नुहोस् ।
In which condition the inverse matrix of the given matrix does not exist? Write it.

यदि दुई रेखाहरूको भुकावहरू क्रमशः \(m_1\) र \(m_2\) भए कुन अवस्थामा ती रेखाहरू आपसमा लम्ब हुन्छन् ? लेख्नुहोस् ।
If the slopes of two lines are \(m_1\) and \(m_2\) respectively, then in which condition these two lines are perpendicular to each other? Write it.

एउटा सोलीलाई समतलीय सतहले उक्त सोलीको आधारसँग समानान्तर हुने गरी प्रतिच्छेदन गर्दा कस्तो ज्यामितीय आकृति बन्दछ ? लेख्नुहोस् ।
Which geometrical figure is formed if a plane surface intersects a cone parallel to its base? Write it.

\(\sin 3A\) लाई \(\sin A\) को रूपमा लेख्नुहोस् ।
Express \(\sin 3A\) in terms of \(\sin A\).

\(\sin A - \sin B\) लाई गुणनफलको रूपमा व्यक्त गर्नुहोस् ।
Express \(\sin A - \sin B\) in the product form.

यदि Y-अक्षतिरको एकाई भेक्टर \(\vec{J}\) भए \((\vec{J})^2\) को मान कति हुन्छ ? लेख्नुहोस् ।
If \(\vec{J}\) is a unit vector along Y-axis, what is the value of \((\vec{J})^2\)? Write it.

उत्क्रम वृत्तमा अर्धव्यास 'r' र केन्द्र विन्दु 'O' छ । यदि विन्दु A को प्रतिविम्ब A' भए \(OA \times OA'\) बराबर कति हुन्छ ? लेख्नुहोस् ।
The radius of the inversion circle is 'r' and the centre is 'O'. If the image of a point A is A', what is equal to \(OA \times OA'\)? Write it.

यदि \(f(x) = x^3 + mx^2 - x + 7\) लाई \(x - 3\) ले भाग गर्दा शेष 4 रहन्छ भने m को मान शेष साध्य प्रयोग गरी पत्ता लगाउनुहोस् ।
If \(f(x) = x^3 + mx^2 - x + 7\) is divided by \(x - 3\), the remainder is 4. Find the value of m using remainder theorem.

असमानता \(x - y \geq 2\) लाई लेखाचित्रमा प्रस्तुत गर्नुहोस् ।
Present the inequality \(x - y \geq 2\) in the graph.

यदि \(D = 10\), \(D_x = \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 6 \end{vmatrix}\) र \(D_y = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 7 \end{vmatrix}\) भए x र y का मानहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
If \(D = 10\), \(D_x = \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 6 \end{vmatrix}\) and \(D_y = \begin{vmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 7 \end{vmatrix}\) then find the values of x and y.

यदि समीकरणहरू \(3x - y + 7 = 0\) र \(kx + 2y + 8 = 0\) भएका दुई रेखाहरू समानान्तर भए k को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If two lines having equations \(3x - y + 7 = 0\) and \(kx + 2y + 8 = 0\) are parallel, find the value of k.

प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that):
\(\dfrac{\sin 50^\circ - \sin 30^\circ}{\cos 30^\circ - \cos 50^\circ} = \cot 40^\circ\)

यदि \(3\tan^2\theta - 9 = 0\) भए \(\theta\) को मान पत्ता लगाउनुहोस् । \((0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ)\)
If \(3\tan^2\theta - 9 = 0\) then find the value of \(\theta\). \((0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ)\)

यदि \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 48\), \(|\vec{a}| = 6\sqrt{2}\) र \(|\vec{b}| = 8\) भए \(\vec{a}\) र \(\vec{b}\) बिचको कोण पत्ता लगाउनुहोस् ।
If \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 48\), \(|\vec{a}| = 6\sqrt{2}\) and \(|\vec{b}| = 8\) then find the angle between \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\).

यदि कुनै तथ्याङ्कको पहिलो चतुर्थांश \((Q_1)\) को मान 43 र चतुर्थांशीय भिन्नता (Q.D.) 6.5 छ भने चतुर्थांशीय भिन्नताको गुणाङ्क पत्ता लगाउनुहोस् ।
If the value of first quartile \((Q_1)\) of any data is 43 and the quartile deviation (Q.D.) is 6.5, find the coefficient of quartile deviation.

यदि दुईओटा फलनहरू \(f(x) = \dfrac{2x-5}{3}\) र \(g(x) = x + 4\) भए \((f \circ g)^{-1}(3)\) पत्ता लगाउनुहोस् ।
If two functions are \(f(x) = \dfrac{2x-5}{3}\) and \(g(x) = x + 4\), find \((f \circ g)^{-1}(3)\).

वर्ग समीकरण \(x^2 + 2x - 3 = 0\) लाई लेखाचित्र विधिबाट हल गर्नुहोस् ।
Solve quadratic equation \(x^2 + 2x - 3 = 0\) by graphical method.

यदि फलन \(f(x) = \begin{cases} 3x - 1 & \text{for } x \geq 2 \\ x + 3 & \text{for } x < 2 \end{cases}\) परिभाषित छ भने, के फलन \(f(x)\), \(x = 2\) मा निरन्तरता हुन्छ ? कारण दिनुहोस् ।
If the function \(f(x) = \begin{cases} 3x - 1 & \text{for } x \geq 2 \\ x + 3 & \text{for } x < 2 \end{cases}\) is defined, is the function \(f(x)\) continuous at \(x = 2\)? Give reason.

मेट्रिक्स विधिद्वारा हल गर्नुहोस् (Solve by matrix method):
\(4x - 3y = 11\) and \(3x + 7y + 1 = 0\)

वृत्त \(x^2 + y^2 + 4x - 6y - 36 = 0\) को केन्द्र विन्दु भएर जाने र केन्द्रविन्दु \((3, 5)\) भएको वृत्तको समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the equation of a circle having centre \((3, 5)\) and passing through the centre of the circle \(x^2 + y^2 + 4x - 6y - 36 = 0\).

प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that):
\(\dfrac{\cos^2 A - \sin^2 B}{\sin A \cdot \cos A + \sin B \cdot \cos B} = \cot(A + B)\)

यदि \(A + B + C = 180^\circ\) भए प्रमाणित गर्नुहोस्:
If \(A + B + C = 180^\circ\) then prove that:
\(\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin\dfrac{A}{2} \cdot \sin\dfrac{B}{2} \cdot \sin\dfrac{C}{2}\)

एक जना अवलोकन कर्ताले 20 मि.अग्लो घरको छतबाट टेलिभिजन टावरको टुप्पो र फेदलाई अवलोकन गर्दा उन्नतांश कोण र अवनति कोण क्रमशः \(45^\circ\) र \(30^\circ\) पाएछ भने उक्त टावरको उचाई पत्ता लगाउनुहोस् ।
An observer observes from the roof of the house 20 m high to the top and bottom of the television tower and found the angle of elevation and angle of depression to be \(45^\circ\) and \(30^\circ\) respectively. Find the height of the tower.

यदि मेट्रिक्स \(\begin{pmatrix} p & 2 \\ q & 2 \end{pmatrix}\) ले एकाई वर्गलाई समानान्तर चतुर्भुज \(\begin{pmatrix} 0 & 4 & c & 2 \\ 0 & 1 & 3 & d \end{pmatrix}\) मा स्थानान्तरण गर्दछ भने p, q, c, d का मानहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
If the matrix \(\begin{pmatrix} p & 2 \\ q & 2 \end{pmatrix}\) transforms a unit square to the parallelogram \(\begin{pmatrix} 0 & 4 & c & 2 \\ 0 & 1 & 3 & d \end{pmatrix}\), find the values of p, q, c, d.

दिइएको तथ्याङ्कको मध्यकबाट मध्यक भिन्नता पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the mean deviation from mean of the given data.

दिइएको तथ्याङ्कबाट बीचरणशीलताको गुणाङ्क पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the coefficient of variation from the given data.

तीनओटा सङ्ख्याहरू समानान्तर श्रेणीमा छन् र ती सङ्ख्याहरूको योगफल 15 छ । यदि पहिलो र तेस्रो सङ्ख्या बिचको गुणोत्तर मध्यमा 4 छ भने ती सङ्ख्याहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
Three numbers are in arithmetic series and the sum of these numbers is 15. If a geometric mean between the first and third number is 4 then find the numbers.

समीकरण \(x^2 + 2xy\sec\alpha + y^2 = 0\) ले प्रतिनिधित्व गर्ने एक जोडा रेखाहरूको बेग्लाबेग्लै समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् । साथै ती रेखाहरू बिचको कोण पनि पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the separate equation of a pair of lines represented by the equation \(x^2 + 2xy\sec\alpha + y^2 = 0\). Also find the angle between them.

समानान्तर चतुर्भुज PQRS का विकर्णहरू PR र QS परस्पर समद्विभाजन हुन्छन् भनि भेक्टर विधिबाट प्रमाणित गर्नुहोस् ।
Prove by vector method that the diagonals PR and QS of a parallelogram PQRS bisect each other.

विस्तारीकरण E को केन्द्र र नापो क्रमशः \((-3, -4)\) र 2 छन् । R ले रेखा \(y = 0\) मा हुने परावर्तन जनाउँछ ।
The centre and scale factor of the enlargement E are \((-3, -4)\) and 2 respectively. R represents the reflection in the line \(y = 0\).
(क) संयुक्त स्थानान्तरण EoR ले \(P(x, y)\) लाई कुन बिन्दुमा स्थानान्तरण गर्दछ ? पत्ता लगाउनुहोस् ।
In which point the combined transformation EoR transforms a point \(P(x, y)\)? Find it.
(ख) शीर्षविन्दुहरू \(A(2, 0)\), \(B(3, 1)\) र \(C(1, 1)\) भएको \(\triangle ABC\) लाई संयुक्त स्थानान्तरण EoR प्रयोग गरी स्थानान्तरण गर्नुहोस् ।
Transform the \(\triangle ABC\) with vertices \(A(2, 0)\), \(B(3, 1)\) and \(C(1, 1)\) using the combined transformation EoR.
(ग) \(\triangle ABC\) र प्रतिविम्बलाई एउटै लेखाचित्रमा प्रस्तुत गर्नुहोस् ।
Present the \(\triangle ABC\) and the image in the same graph paper.