दिइएका निर्देशनका आधारमा आफ्नै शैलीमा सिर्जनात्मक उत्तर दिनुहोस् :
सबै प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् (Answer all the questions):
एकात्मक फलनको परिभाषा लेख्नुहोस् ।
Write the definition of identity function.
यदि a र b दुई धनात्मक सङ्ख्याहरू भए तिनीहरूको समानान्तरीय मध्यमा (AM) र गुणोत्तर मध्यमा (GM) बिचको सम्बन्ध लेख्नुहोस् ।
If a and b are two positive numbers, write the relation between their arithmetic mean (AM) and geometric mean (GM).
फलन \(f(x)\) विन्दु \(x = a\) मा निरन्तर हुने अवस्था लेख्नुहोस् ।
Write the condition of the continuity of the function \(f(x)\) at the point \(x = a\).
मेट्रिक्स \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) को विपरीत मेट्रिक्स के हुन्छ, लेख्नुहोस् ।
What is the inverse matrix of matrix \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)? Write it.
समीकरण \(ax^2 + 2hxy + by^2 = 0\) ले जनाउने जोडा रेखाहरू कुन अवस्थामा सम्पाती हुन्छन् ? लेख्नुहोस् ।
Under what condition the pair of straight lines represented by equation \(ax^2 + 2hxy + by^2 = 0\) are coincident? Write it.
कुन अवस्थामा एउटा सोलीलाई समतलीय सतहले प्रतिच्छेदन गर्दा वृत्त बन्छ, लेख्नुहोस् ।
In which condition a circle is formed when a plane surface intersects a cone? Write it.
\(\sin A\) लाई \(\tan\frac{A}{2}\) को रूपमा व्यक्त गर्नुहोस् ।
Express \(\sin A\) in terms of \(\tan\frac{A}{2}\).
\(\cos(A-B) - \cos(A+B)\) लाई गुणनफलको रूपमा व्यक्त गर्नुहोस् ।
Express \(\cos(A-B) - \cos(A+B)\) as a product.
भेक्टरहरू \(\vec{a}\) र \(\vec{b}\) बिचको कोण \(\theta\) पत्ता लगाउने सूत्र लेख्नुहोस् ।
Write the formula to find the angle \(\theta\) between the vectors \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\).
विपरीत स्थानान्तरणमा यदि विन्दु P उत्क्रम वृत्तको केन्द्रविन्दुमा पर्दछ भने P को प्रतिविम्ब P' कहाँ पर्दछ, लेख्नुहोस् ।
In an inversion transformation, if a point P lies at the centre of inversion circle then where does its image P' lie? Write it.
सबै प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् (Answer all the questions):
[8×2=16]यदि बहुपदीय \(p(y) = y^3 - 2ay^2 + ay - 2\) को एउटा गुणन खण्ड \(y - 2\) भए a को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If \(y - 2\) is a factor of polynomial \(p(y) = y^3 - 2ay^2 + ay - 2\), find the value of a.
असमानता \(2x + y \leq 2\) लाई लेखा चित्रमा देखाउनुहोस् ।
Show the inequality \(2x + y \leq 2\) in the graph paper.
यदि समीकरणहरू \(ax - 5y = 3\) र \(4x + 3y = 4\) मा \(D = 26\) भए क्रामरको नियम प्रयोग गरी 'a' को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If the equations \(ax - 5y = 3\) and \(4x + 3y = 4\) have \(D = 26\), find the value of 'a' using Cramer's rule.
समीकरण \(6x^2 + 5xy - 6y^2 - 3x + 2y = 0\) ले प्रतिनिधित्व गर्ने जोडा रेखाहरूको छुट्टा छुट्टै समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the separate equation of the pair of lines represented by the equation \(6x^2 + 5xy - 6y^2 - 3x + 2y = 0\).
क्याल्कुलेटर र त्रिकोणमितीय तालिका प्रयोग नगरी प्रमाणित गर्नुहोस् :
Without using calculator and trigonometric table prove that:
\(\sin 75^\circ \cdot \cos 15^\circ = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}\)
हल गर्नुहोस् (Solve): \(\sin 2x - \sin x = 0\) \((0^\circ \leq x \leq 90^\circ)\)
भेक्टरहरू \(3\vec{i} + 4\vec{j}\) र \(8\vec{i} - 6\vec{j}\) बिचको कोण पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the angle between the vectors \(3\vec{i} + 4\vec{j}\) and \(8\vec{i} - 6\vec{j}\).
एउटा निरन्तर श्रेणीमा \(\sum f|m - \bar{x}| = 1134\), \(N = 100\) र मध्यक \((\bar{x}) = 40\), भए मध्यक भिन्नता र यसको गुणाङ्क पत्ता लगाउनुहोस् ।
In a continuous series if \(\sum f|m - \bar{x}| = 1134\), \(N = 100\) and mean \((\bar{x}) = 40\), find the mean deviation and its coefficient.
सबै प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् (Answer all the questions):
[11×3=33]यदि \(f(x) = \frac{2x+5}{3}\) र \(g(x) = \frac{x+5}{2}\) मा \(g \circ g(x) = f^{-1}(x)\) भए \(x\) को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If \(f(x) = \frac{2x+5}{3}\) and \(g(x) = \frac{x+5}{2}\) such that \(g \circ g(x) = f^{-1}(x)\), find the value of \(x\).
लेखाचित्र विधिद्वारा हल गर्नुहोस् (Solve graphically): \(y = x^2\) and \(y = 2x + 3\)
फलन \(f(x)\) निम्नानुसार परिभाषित छ ।
Function \(f(x)\) is defined as follows.
\(f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{for } x < 2 \\ 4 & \text{for } x = 2 \\ 3x - 2 & \text{for } x > 2 \end{cases}\)
के फलन \(f(x)\) विन्दु \(x = 2\) मा निरन्तर छ ? कारण दिनुहोस् ।
Is the function \(f(x)\) continuous at the point \(x = 2\)? Give reason.
मेट्रिक्स विधिको प्रयोग गरी हल गर्नुहोस् (Solve by using matrix method):
\(2x - 3y = 7\) and \(3x - 4y = 10\)
यदि वृत्त \(x^2 + y^2 - 2x - 10y + 1 = 0\) को एउटा व्यासको एक छेउको निर्देशाङ्कहरू \((1, 0)\) भए अर्को छेउको निर्देशाङ्कहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
If the co-ordinates of one end of a diameter of the circle \(x^2 + y^2 - 2x - 10y + 1 = 0\) is \((1, 0)\), find the co-ordinates of the other end.
प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that): \(4\sin^3\theta \cdot \cos 3\theta + 4\cos^3\theta \cdot \sin 3\theta = 3\sin 4\theta\)
यदि \(P + Q + R = 180^\circ\) भए प्रमाणित गर्नुहोस् :
If \(P + Q + R = 180^\circ\), prove that:
\(\sin(P + Q - R) + \sin(Q + R - P) + \sin(R + P - Q) = 4\sin P \cdot \sin Q \cdot \sin R\)
एउटा धरहराको टुप्पोबाट त्यसको ठिक अगाडि रहेको 20 मिटर अग्लो एउटा खम्बाको टुप्पो र फेदमा हेर्दा अवनती कोणहरू क्रमश: \(30^\circ\) र \(60^\circ\) पाइयो भने धरहराको उचाइ पत्ता लगाउनुहोस् ।
The angles of depression of the top and bottom of a pole 20 m high observed from the top of a tower are found to be \(30^\circ\) and \(60^\circ\) respectively. Find the height of the tower.
शीर्षविन्दुहरू \(A(3, 6)\), \(B(4, 2)\) र \(C(2, 2)\) भएको \(\triangle ABC\) लाई \(x\)-अक्षमा परावर्तन गर्दा प्राप्त हुने प्रतिविम्ब त्रिभुजको शीर्षविन्दुहरूका निर्देशाङ्कहरू मेट्रिक्स विधिद्वारा पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the co-ordinates of the vertices of image triangle of the \(\triangle ABC\) with vertices \(A(3, 6)\), \(B(4, 2)\) and \(C(2, 2)\) under the reflection on the \(x\)-axis by matrix method.
तल दिइएको तथ्याङ्कको पहिलो चतुर्थांश 16.25 भए चतुर्थांशीय भिन्नता पत्ता लगाउनुहोस् :
Calculate the quartile deviation of the data given below where the first quartile is 16.25.
| प्राप्ताङ्क (Marks obtained) | 0 - 10 | 10 - 20 | 20 - 30 | 30 - 40 | 40 - 50 |
| विद्यार्थी सङ्ख्या (No. of Students) | 6 | 8 | 12 | 11 | 7 |
दिइएको तथ्याङ्कबाट स्तरीय भिन्नता निकाल्नुहोस् :
Calculate the standard deviation from the given data.
| प्राप्ताङ्क (Marks obtained) | 0 - 10 | 0 - 20 | 0 - 30 | 0 - 40 | 0 - 50 |
| विद्यार्थी सङ्ख्या (No. of Students) | 5 | 15 | 35 | 40 | 50 |
सबै प्रश्नहरूको उत्तर दिनुहोस् (Answer all the questions):
[4×4=16]गुणोत्तर श्रेणीमा रहेका तीनओटा क्रमिक सङ्ख्याहरूको योगफल 56 छ । यदि ती सङ्ख्याहरूबाट क्रमश: 1, 7 र 21 घटाउँदा सङ्ख्याहरू समानान्तरीय श्रेणीमा हुन्छन् भने ती सङ्ख्याहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
The sum of three consecutive numbers of a geometric series is 56. If 1, 7 and 21 be subtracted from the numbers respectively, they form an arithmetic series. Find the numbers.
एउटा वर्ग PQRS को शीर्षविन्दुहरू P र R का निर्देशाङ्कहरू क्रमश: \((3, 7)\) र \((-1, 3)\) छन् भने विकर्ण QS को समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।
The co-ordinates of vertices P and R of a square PQRS are \((3, 7)\) and \((-1, 3)\) respectively. Find the equation of diagonal QS.
समवाहु चतुर्भुज MNOP को विकर्णहरू आपसमा लम्ब हुन्छन् भनी भेक्टरविधिद्वारा प्रमाणित गर्नुहोस् ।
Prove by vector method that the diagonals of rhombus MNOP are perpendicular to each other.
R ले रेखा \(y = -x\) मा हुने परावर्तन र S ले उद्गमविन्दु वरिपरि \(180^\circ\) मा हुने परिक्रमणलाई जनाउँछ भने संयुक्त स्थानान्तरण RoS ले जनाउने एकल स्थानान्तरण पत्ता लगाउनुहोस् । सोही एकल स्थानान्तरण प्रयोग गरी शीर्षविन्दुहरू \(A(1, 2)\), \(B(-4, 3)\) र \(C(3, 5)\) भएको \(\triangle ABC\) लाई स्थानान्तरण गर्दा बन्ने प्रतिविम्बको शीर्षविन्दुहरूका निर्देशाङ्कहरू पत्ता लगाउनुहोस् । साथै \(\triangle ABC\) र यसको प्रतिविम्बलाई एउटै लेखा चित्रमा प्रस्तुत गर्नुहोस् ।
R denotes the reflection on the line \(y = -x\) and S denotes the rotation about origin through \(180^\circ\). Find the single transformation represented by combined transformation RoS. Using the same single transformation, find the co-ordinates of the vertices of the image of \(\triangle ABC\) having vertices \(A(1, 2)\), \(B(-4, 3)\) and \(C(3, 5)\). Also present \(\triangle ABC\) and its image on the same graph paper.