SEE Optional First Mathematics Question Paper 2082 Set B

संयुक्त फलनलाई परिभाषित गर्नुहोस् ।
Define composite function.

यदि \(S_n = \frac{n}{2}(a + l)\) समानान्तरीय श्रेणीको योगफल पत्ता लगाउने सूत्र भए \(l\) ले के जनाउँछ, लेख्नुहोस् ।
If \(S_n = \frac{n}{2}(a + l)\) represents the formula to find the sum of arithmetic series, what does \(l\) represent? Write it.

एउटा फलन \(f(x)\) कुन अवस्थामा विन्दु \(x = a\) मा निरन्तर हुन्छ ? सङ्केतमा लेख्नुहोस् ।
In which condition the function \(f(x)\) is continuous at the point \(x = a\)? Write in symbol.

मेट्रिक्सहरू A, B र I को क्रम \(2 \times 2\) छन् । यदि \(AB = I\) भए मेट्रिक्स A र मेट्रिक्स B बिचको सम्बन्ध लेख्नुहोस् । जहाँ I एउटा एकाइ मेट्रिक्स हो ।
Order of matrices A, B and I are \(2 \times 2\). If \(AB = I\), write the relation between matrix A and matrix B where I is an identity matrix.

\(ax^2 + 2hxy + by^2 = 0\) ले एक जोडा सीधा रेखाहरूलाई प्रतिनिधित्व गर्छ भने कुन अवस्थामा ती रेखाहरू आपसमा लम्ब हुन्छन्, लेख्नुहोस् ।
\(ax^2 + 2hxy + by^2 = 0\) represents a pair of straight lines. In which condition these lines are perpendicular to each other? Write it.

समतलीय सतहले सोलीलाई प्रतिच्छेदन गर्दा समतलीय सतहले सोलीको अक्षसँग बनाएको कोण \((\theta)\) र सोलीको अर्धशीर्षकोण \((\alpha)\) वरावर भएको अवस्थामा कस्तो ज्यामितीय आकृति बन्दछ, लेख्नुहोस् ।
If the angle \((\theta)\) made by the plane surface with the axis of cone is equal to the semi-vertical angle \((\alpha)\) of the cone when the plane intersects the cone, what type of geometrical figure is formed? Write it.

\(\cos A\) लाई \(\tan\frac{A}{2}\) को रूपमा व्यक्त गर्नुहोस् ।
Express \(\cos A\) in terms of \(\tan\frac{A}{2}\).

\(2\sin A \cdot \cos B\) लाई sine अथवा cosine को योग वा अन्तरको रूपमा व्यक्त गर्नुहोस् ।
Express \(2\sin A \cdot \cos B\) in the form of sum or difference of sine or cosine.

यदि \(\vec{a} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}\) र \(\vec{b} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}\) भए \(\vec{a}\) र \(\vec{b}\) को स्केलर गुणनफल कति हुन्छ ? लेख्नुहोस् ।
If \(\vec{a} = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix}\) and \(\vec{b} = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix}\), what is the scalar product of \(\vec{a}\) and \(\vec{b}\)? Write it.

यदि उत्क्रम वृत्तको केन्द्र \((h, k)\) र अर्धव्यास 'r' भए विन्दु \(p(x, y)\) को उत्क्रम विन्दुको निर्देशाङ्कहरू लेख्नुहोस् ।
If the centre of inversion circle is \((h, k)\) and radius 'r' then write the co-ordinates of the inversion point of the point \(p(x, y)\).

यदि फलन \(f(x) = 2x + 3\) भए \(f^{-1}(3)\) को मान पत्तालगाउनुहोस् ।
If function \(f(x) = 2x + 3\), then find the value of \(f^{-1}(3)\).

समीकरण \(y = 2x^2 - 4x + 7\) बाट बन्ने परावोलाको समिमतीय रेखाको समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the equation of line of symmetry of the parabola formed by the equation \(y = 2x^2 - 4x + 7\).

यदि मेट्रिक्स \(A = \begin{pmatrix} x & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}\) एउटा एकल मेट्रिक्स भए \(x\) को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If matrix \(A = \begin{pmatrix} x & 3 \\ 4 & 2 \end{pmatrix}\) is a singular matrix then find the value of \(x\).

यदि \((k + 3)x^2 + 2(k - 3)xy + (k - 3)y^2 = 0\) ले प्रतिनिधित्व गर्ने एक जोडा रेखाहरू आपसमा सम्पाती छन् भने k को मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
If a pair of lines represented by \((k + 3)x^2 + 2(k - 3)xy + (k - 3)y^2 = 0\) are coincident to each other, find the value of k.

प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that):
\(\tan A + \cot A = 2\csc 2A\)

हल गर्नुहोस् (Solve): \((0^\circ \leq \theta \leq 90^\circ)\)
\(4\sin\theta = \csc\theta\)

भेक्टरहरू \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) र \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}\) बिचको कोण पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the angle between vectors \(\vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}\) and \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \end{pmatrix}\).

एउटा निरन्तर श्रेणीमा मध्यिका \((M_d) = 40\), \(\sum f = 50\) र \(\sum f|m - M_d| = 530\) छन् भने मध्यक भिन्नताको गुणाङ्क पत्ता लगाउनुहोस् ।
In a continuous series, median \((M_d) = 40\), \(\sum f = 50\) and \(\sum f|m - M_d| = 530\). Find the coefficient of mean deviation.

हल गर्नुहोस् (Solve):
\(y^3 - 19y - 30 = 0\)

निम्न लिखित अवस्थामा \(P = 3x + y\) को अधिकतम मान पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the maximum value of \(P = 3x + y\) under the following conditions.
\(2y \leq x - 1\), \(x + y \leq 4\), \(x \geq 0\) and \(y \geq 0\).

फलन \(f(x) = 3x + 2\) एउटा वास्तविक फलन हो ।
The function \(f(x) = 3x + 2\) is a real valued function.
(a) \(f(2.999)\) र \(f(3.001)\) को मानहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the values of \(f(2.999)\) and \(f(3.001)\).
(b) के फलन \(f(x)\) विन्दु \(x = 3\) मा निरन्तर हुन्छ ? कारण दिनुहोस् ।
Is the function \(f(x)\) continuous at \(x = 3\)? Give reason.

क्रामरको नियम प्रयोग गरी हल गर्नुहोस् ।
Solve by using Cramer's rule.
\(9x - 8y = 12\), \(2x + 3y = 17\)

शीर्षविन्दुहरू \((1, 4)\), \((-5, 7)\) र \((3, 5)\) भएको त्रिभुजको पहिलो शीर्षविन्दुबाट खिचिएको उचाइको समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।
Find the equation of the altitude of a triangle having vertices \((1, 4)\), \((-5, 7)\) and \((3, 5)\) drawn from the first vertex.

प्रमाणित गर्नुहोस् (Prove that):
\(\frac{\sin A \cdot \cos A - \sin B \cdot \cos B}{\cos^2 B - \cos^2 A} = \cot(A + B)\)

यदि \(A + B + C = 180^\circ\) भए प्रमाणित गर्नुहोस् ।
If \(A + B + C = 180^\circ\), then prove that:
\(\cos^2\frac{A}{2} + \cos^2\frac{B}{2} + \cos^2\frac{C}{2} = 2 + 2\sin\frac{A}{2} \cdot \sin\frac{B}{2} \cdot \sin\frac{C}{2}\)

एउटा रूखको टुप्पोलाई एउटै समतल र रूखको एकैतिर परेका दुई विन्दुहरूबाट हेर्दा उन्नतांश कोणहरू क्रमश: \(30^\circ\) र \(45^\circ\) पाइएछ । यदि ती दुई विन्दुबिचको दुरी 20 मिटर भए रूखको उचाइ पत्ता लगाउनुहोस् ।
When the top of a tree is observed from two points lying on the same plane and same side of the tree then the angles of elevation are found to be \(30^\circ\) and \(45^\circ\) respectively. If the distance between the two points is 20 m, then find the height of the tree.

शीर्षविन्दुहरू \(A(2, 0)\), \(B(2, 9)\) र \(C(6, 7)\) भएको त्रिभुज ABC लाई एउटा \(2 \times 2\) स्थानान्तरण मेट्रिक्सले शीर्षविन्दुहरू \(A'(0, 2)\), \(B'(9, 2)\) र \(C'(7, 6)\) भएको त्रिभुज A'B'C' मा स्थानान्तरण गर्छ भने स्थानान्तरण गर्ने \(2 \times 2\) मेट्रिक्स पत्ता लगाउनुहोस् ।
A triangle ABC with vertices \(A(2, 0)\), \(B(2, 9)\) and \(C(6, 7)\) is transformed on to the triangle A'B'C' with vertices \(A'(0, 2)\), \(B'(9, 2)\) and \(C'(7, 6)\) by a \(2 \times 2\) transformation matrix. Find the \(2 \times 2\) transformation matrix.

दिइएको तथ्याङ्कको तेस्रो चतुर्थांश 38.75 भए चतुर्थांशीय भिन्नता गणना गर्नुहोस् :
Calculate the quartile deviation of the given data when the third quartile is 38.75.

दिइएको तथ्याङ्कबाट स्तरीय भिन्नता पत्ता लगाउनुहोस् :
Calculate the standard deviation from the given data.

गुणोत्तर श्रेणीमा भएका पहिलो तीनओटा पदहरूको गुणनफल 1000 छ । यदि पहिलो पदलाई स्थिर राखेर दोस्रो र तेस्रो पदहरूमा क्रमश: 6 र 7 जोड्दा ती पदहरू समानान्तरीय श्रेणीमा हुन्छन् भने गुणोत्तर श्रेणीमा भएका ती पदहरू पत्ता लगाउनुहोस् ।
The product of first three terms of a geometric series is 1000. If keeping the first term constant and 6 and 7 be added to the second and third terms respectively, the terms are in the arithmetic series. Find the terms which are in geometric series.

A र B समकेन्द्रित दुई वृत्तहरू छन् र वृत्त B को अर्धव्यास वृत्त A को अर्धव्यासको आधा छ । यदि वृत्त A को समीकरण \(x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0\) भए वृत्त B को समीकरण पत्ता लगाउनुहोस् ।
A and B are two concentric circles and radius of circle B is half of the radius of circle A. If the equation of circle A is \(x^2 + y^2 - 6x + 2y - 6 = 0\), then find the equation of circle B.

समानान्तर चतुर्भुज EFGH का विकर्णहरू परस्पर समद्विभाजन हुन्छन् भनी भेक्टर विधिद्वारा प्रमाणित गर्नुहोस् ।
Prove by vector method that the diagonals of a parallelogram EFGH bisect each other.

यदि \(R_1\) ले \(y\)-अक्षमा हुने परावर्तन र \(R_2\) ले उद्गम विन्दुको वरिपरि \(-90^\circ\) मा हुने परिक्रमणलाई जनाउँछन् भने संयुक्त स्थानान्तरण \(R_1 \circ R_2\) ले जनाउने एकल स्थानान्तरण पत्ता लगाउनुहोस् । सोही एकल स्थानान्तरण प्रयोग गरी शीर्षविन्दुहरू \(A(2, 0)\), \(B(3, 1)\) र \(C(1, 1)\) भएको \(\triangle ABC\) लाई स्थानान्तरण गर्दा बन्ने प्रतिविम्बको शीर्षविन्दुहरूका निर्देशाङ्कहरू पत्ता लगाउनुहोस् । साथै वस्तु र प्रतिविम्बलाई एउटै लेखाचित्रमा प्रस्तुत गर्नुहोस् ।
If \(R_1\) represents the reflection on \(y\)-axis and \(R_2\) represents the rotation about origin through \(-90^\circ\), find the single transformation represented by the combined transformation \(R_1 \circ R_2\). Using the same single transformation, find the co-ordinates of the vertices of image so formed of \(\triangle ABC\) with vertices \(A(2, 0)\), \(B(3, 1)\) and \(C(1, 1)\). Also present the object and the image in the same graph paper.